المفاهيم الرياضية وطرق تدريسها

تعريف المفهوم الرياضي:

يعتبر المفهوم الرياضي الأساس لكل مكونات المعرفة الرياضية حيث تعتمد باقي مكونات المعرفة الرياضية على المفاهيم اعتماداً كبيراً في تكوينها واستيعابها واكتسابها. أما بخصوص تعريف المفهوم " مفهوم المفهوم " فلا يوجد تعريف جامع أو متفق عليه للمفهوم، وقد اختلف العلماء في تعريفاتهم للمفهوم لعدم وجود معلومات كافية عن تكوين المفاهيم واستخداماتها.
والمفهوم ليس شيئاً محسوساً قائماً في الواقع، فالأشياء المحسوسة التي تدل عليها المفاهيم ليست سوى نماذج أو أمثلة تطبق عليه، وتتمثل فيها سماته الأساسية، وهناك تعريفات متعددة للمفهوم منها:
• مجموعة من الأشياء المدركة بالحواس أو الأحداث التي يمكن تصنيفها مع بعضها البعض على أساس من الخصائص المشتركة والمميزة ويمكن الإشارة إليها باسم أو برمز .
• مجموعة من الاستدلالات الذهنية المنظمة التي يكونها الفرد.
• المفهوم هو بناء عقلي أو تجريد ذهني. إنه الصورة الذهنية التي تتكون لدى الفرد نتيجة تعميم صفات وخصائص استنتجت من أشياء متشابهة على أشياء يتم التعرض إليها فيما بعد .
• الصفة المجردة المشتركة بين جميع أمثلة ذلك المفهوم .
• المفهوم: تجريد ذهني لخصائص مشتركة لمجموعة من الظواهر أو الخبرات أو الأشياء,
• المفهوم: فكرة مجردة تشير إلى مجموعة من العناصر التي تلتقي جميعها في مجموعة من السمات المميزة المشتركة .
• المفهوم: بنية عقلية تدل على مجموعة السمات المميزة التي تلقي عندها أفراد صنف معين من الأشياء.
• المفهوم: هو فكرة مجردة ناتجة عن الاستدلالات الذهنية المنظمة التي يكونها الفرد من جراء تفاعله مع الأشياء أو الأحداث المتوافرة في البيئة .
• ويمكن اعتبار المفهوم كزوج مرتب ذي بعدين، الأول: هو العبارة التي تحدد المفهوم، أو الاسم ( المصطلح ) الذي يطلق عليه، والثاني: القاعدة التي تستخدم في استعمال هذه العبارة.
أنواع المفاهيم:-
تعدد تصنيف أنواع المفاهيم الرياضية، ولقد تم إعداد توليفة ( توليفة الدواهيدي ) لأنواع المفاهيم وهي :-
1- المفاهيم الحسية والمجردة ( مفاهيم دالّة ): وهي مفاهيم مجموعتها المرجعية غير خالية فمثلاً المفاهيم الحسية تنتمي إلى مجموعة الأشياء المادية والتي يمكن ملاحظتها وقياسها مثل مفهوم المسطرة، الفرجار، الكرسي، المنقلة، والمفهوم المجرد هو مفهوم دلالي غير حسي وينتمي إلى مجموعة الأشياء المجردة والتي لا يمكن ملاحظتها وقياسها كمفهوم العدد النسبي، المعادلة، الاقتران، ومعظم المفاهيم الرياضية هي من نوع المفاهيم المجردة.
2- المفاهيم الأولية ( المفردة ) والثانوية ( العامة ): المفاهيم الأولية ( المفردة ) هي المفاهيم التي تنتمي إلى مجموعات أحادية أي تتكون من عنصر واحد ويعتمد بناؤها على المحسوسات مثل مفهوم الشمس، مفهوم القمر، مفهوم النجم القطبي، العدد الأولي الأصغر، أما المفاهيم الثانوية ( العامة ) ويتم اشتقاقه وبناؤه من مفاهيم أولية مثل مفهوم الحيوان و مفهوم الكلب و الاقتران النسبي.
3- المفاهيم المتعلقة بالإجراءات: وهي مفاهيم تركز على طرق العمل مثل مفهوم ضرب المقادير وجمعها، وطرحها وقسمتها.
4- مفاهيم ربطية: ويستخدم فيها الرابط و، ويتوفر أكثر من خاصة واحدة في الأشياء مثل مفهوم المعين، مفهوم الزمرة.
5- مفاهيم فصلية: ويستخدم فيها الرابط أو، وتتوفر فيها واحدة من بين عدة خصائص أو صفات مثل مفهوم العدد غير السالب ( وهو عدد صحيح موجب أو صفر)، مفهوم أكبر من أو يساوي.
6- مفاهيم علائقية: وهي مفاهيم لا يظهر معناها إلا إذا كانت مشتملة على علاقة بين مفهومين أو أكثر مثل مفهوم الكثافة، جيب الزاوية، ومقياس الرسم.
7- مفاهيم تعريفية ( قيمية ): وهي مفاهيم ليست لها مجموعة مرجعية وإنما تحدد سماتها الأساسية المشتركة بحسب اتفاقات عامة مثل مفهوم التطابق، التشابه، التساوي.
8- مفاهيم غير معرفة: وهي مفاهيم غير قابلة للتعريف حيث لا يمكن إيجاد عبارة تصف المفهوم وصفاً محدداً مثل مفهوم النقطة، المستقيم، المستوى، العدد، المجموعة

استخدامات المفهوم: يستخدم المفهوم من خلال ما يلي:-

أولاً الاستخدام الاصطلاحي: يتم التحدث عن خصائص الأشياء التي يتصف بها المفهوم والتي تدخل ضمن إطار أو حدود المفهوم أو المصطلح الدال على المفهوم مثل الخصائص والفئات للأعداد مثل الأعداد النسبية ( العدد النسبي مفهوم الشروط التي تحدد العدد النسبي، أو صفات الأعداد النسبية التي تحدد العدد النسبي ).
ثانيا الاستخدام الدلالي: عملية تصنيف حيث يتم تميز مفهوم معين من خلال تميز الأمثلة على المفهوم و اللا أمثلة عليه، وبعبارة أخرى فرز أمثلة المفهوم عن اللا أمثلة على المفهوم، وهو استخدام تطبيقي، مثل تمييز العدد النسبي عن غيره.
ثالثا الاستخدام التضميني: اللجوء إلى استخدام مصطلح المفهوم أكثر مما تذكر أو تتحدث عن الأشياء المسماة به، أي استخدام مصطلح المفهوم أكثر من الأشياء المتعلقة به مثل العدد الأولي، العدد النسبي، أو تعطي مصطلحات مرادفة لمصطلح المفهوم.

وحتى يتم تشكيل صورة للمفهوم في الدماغ، فإن من الواجب أن تتكامل العوامل الأربعة التالية:
1- التمثيل المادي للمفهوم.
2- واحدة من الحواس.
3- دماغ واعٍ مستعد لاستقبال الصورة.
4- تسمية المفهوم.

التحركات في تعليم المفاهيم:-
عند قيام المعلم بتعليم مفهوم ما يقوم بتصرفات تدريسية تُسمى " تحركات " وقد تختلف من معلم لآخر بل عند المعلم نفسه من صف لآخر ومن موقف لآخر:
1- تحرك التعريف.
2- تحرك المثال ( أمثلة الانتماء ).
3- تحرك اللامثال ( مع التعليل ).
أولا: - تحرك التعريف:
يتناول هنا اللفظ الدال على مفهوم الشيء عن طريق إعطائه تفسيراً لغوياً يوضح معناه، فالتعريف عملية على الرموز تُعين لكل رمز معنى، فالرموز هي التي تحتاج إلى تعريف لتوضيح معناها، وإعطاء التعريف هو القيام بتحرك لغوي ويُقصد به توضيح موجز لمصطلح المفهوم، أي إعطاء التعريف معنى للمصطلح، وتحرك التعريف أكثر التحركات شيوعاً وسهولة في الاستخدام، وأكثرها دقة وتحديداً للمفهوم، إلا أن الأبحاث أشارت أنها أكثر التحركات صعوبة على فهم التلاميذ وخاصة التلاميذ الذين لا يملكون ذخيرة كافية من المفاهيم، أو لا يستطيعون اكتشاف العلاقات بسهولة، كما أن كفاءتها العالية تجعلها أكثر صعوبة على الطلاب بطيئي التحصيل مما يدفعهم إلى حفظها دون فهمها، وبالتالي لا يستطيعون توظيفها واستخدامها.
ثانيا:- تحرك المثال:
يقوم المعلم بإعطاء أمثلة إيجابية على المفهوم، ويشترط في هذه الأمثلة أن تتناول المفهوم من جميع جوانبه، وأن تشمل على جميع السمات المميزة لهذا المفهوم ( السمات الحرجة )، أما إذا كان المفهوم حسي فإن الأمثلة يجب أن تكون من أشياء مادية يمكن ملاحظتها وقياسها، أما المفهوم غير الحسي فيمكن تمثيله بأشياء شبه محسوسة بالصور والرسومات مثلاً، أو مساعدة التلميذ على إدراكه عقلياً إذا كان مجرداً.

ثالثا: - تحرك اللامثال:
وهذا التحرك يتعلق بأن يقوم المعلم بطرح أمثلة لا تنتمي إلى المفهوم (سلبية ) وتعطي اللا أمثلة للتلاميذ لإزالة سوء الفهم الذي قد يحدث للتلاميذ نتيجة عدم قدرتهم على تمييز السمات الأساسية(الحرجة ) للمفهوم عن السمات الثانوية.
استراتيجيات تعليم المفاهيم الرياضية:-
تعتبر استراتيجية المعلم في تقديم المفهوم الرياضي هامة، وتختلف الاستراتيجيات المستعملة في تقديم المفاهيم الرياضية من حيث عدد التحركات وتنظيمها ومن الاستراتيجيات ما يلي:-
1) سلسلة من تحركات أمثلة الانتماء.
2) سلسلة من تحركات أمثلة الانتماء و تحركات أمثلة عدم الانتماء وتتكون من سلسلة من الأزواج المرتبة من تحركات أمثلة الانتماء و تحركات أمثلة عدم الانتماء.
3) سلسلة من تحركات أمثلة الانتماء و تحركات أمثلة عدم الانتماء ليس بترتيب ثابت أو محدد.
4) استراتيجيات الترتيب:
• تعريف – أمثلة انتماء – أمثلة عدم انتماء.
• أمثلة انتماء – أمثلة عدم انتماء – تعريف.
• تعريف – أمثلة انتماء.
• أمثلة انتماء – تعريف.

معايير إتقان فهم التلاميذ للمفاهيم الرياضية:
هناك معايير سلوكية لقياس مدى إتقان فهم التلاميذ للمفاهيم الرياضية وفي هذا المجال يوجد نموذجان لذلك:-
أولاً: النموذج الأول: قائمة بالأعمال التي يقوم بها التلميذ لقياس إتقان التعلم:
مثال الشيء المعطى العمل الذي يقوم به التلميذ
* إذا أُعطى اسم المفهوم يعطي مثالاً عليه
يعطي مثالاً لا ينطبق على المفهوم
يختار الصفة المرتبطة بالمفهوم
يختار صفة لا ترتبط بالمفهوم
يعطي تعريفا للمفهوم
* إذا أعطى مثالاً على المفهوم يختار اسم المفهوم
* إذا أعطى أسماء مفهومين يبين العلاقة بينهما

ثانياً: نموذج ديفيس في اكتساب المفهوم:- وينقسم إلى مستويين :-
الأول: يقيس قدرة الطالب على تمييز الأمثلة من اللا أمثلة.
مثلاً * يُعطي التلميذ أمثلة للمفهوم، أو يحدد المفهوم ويعلل ذلك.
* يُعطي التلميذ أمثلة سلبية للمفهوم ويعلل ذلك.

الثاني: يقيس قدرة التلميذ على تمييز خصائص المفهوم.
مثلاً * يحدد الأشياء التي يجب توافرها في أمثلة المفهوم.
* يحدد الخصائص والشروط الكافية حتى يكون المثال إيجابي على المفهوم.
* يحدد الصفات المشتركة وغير المشتركة بين مفهومين.
* يُعطي تعريفاً دقيقاً ومحدداً للمفهوم.

دليل التخطيط للتعليم الاستراتيجي في الرياضيات
يتكون هذا الدليل من ثلاث مراحل أساسية تحتوي كل منها على عدة خطوات جزئية، ويتم تدريس المفاهيم بتطبيق دليل التخطيط للتعليم الاستراتيجي في الرياضيات على المعرفة المفاهيمية كما يلي:
أولاً: التهيئة للتعليم ( تحضير المحتوى ):-
أ- قيّم مستوى التعلم ب- ناقش الأهداف ج- مهّد للمسألة
د- نشط الخلفية المعرفية هـ- ركز التوجيه / أثر الاهتمام

ثانياُ: تقديم المحتوى:-
أ- توقف / تأمل ب- ابدأ بتقديم المحتوى ج- ساعد على تمثل الأفكار
ثالثاً: التطبيق / الإدماج:-
أ- ادمج / نظم: شاطر المتعلمين في الحلول والتنفيذ وناقشهم فيها قارن حلول المتعلمين بالحلول النموذجية وبخبرات التعلم الأخرى.
ب- قيِّم الإنجاز:
 نمذج التقييم وناقشه.
 ناقش الأخطاء المفاهيمية السابقة.
 وفر التعزيز.
ج- وسع التعلم: وفر فرصاً لتوسيع التعلم متزايدة في تنوعها وتعقيدها ناقش النمو الحاصل.
قواعد عامة ومبادئ يجب مراعاتها عند تدريس المفاهيم
1- المفاهيم لا تُعطى للمتعلم بل يجب على المتعلم أن يضمها وأن يدمجها ضمن البناء المعرفي الذي لديه.
2- تحديد طبيعة المفهوم أي نوع المفهوم طبقاً للتصنيف الوارد سابقاً.
3- تحديد السمات الأساسية ( الحرجة ) للمفهوم ولفت النظر إليها عند ضرب أمثلة الانتماء (الأمثلة الإيجابية عن المفهوم).
4- ضرب أمثلة إيجابية وأخرى سلبية مع التفسير في الحالتين.
5- ربط المفهوم بالخبرات السابقة اللازمة لتعلمه.
6- صياغة تعريف المفهوم بلغة واضحة تتضمن جميع السمات الحرجة للمفهوم بحيث يفهمها المتعلم بسهولة.
7- إتاحة الفرصة للتلاميذ للتدرب على المفهوم واستخدامه في بناء مفاهيم أخرى.
8- تبني نموذج تعلم يساعد التلاميذ على بناء المفاهيم.
9- الحرص على تشكيل الصورة الذهنية للمفهوم في الدماغ، فإن ذلك يُسهل على المتعلم عملية استدعائه عند الحاجة إليه.
10- العمل على صون المفهوم من خلال تدريبات منتمية كلما لزم ذلك.

-------------------------
11- المراجع:
1- إبراهيم، مجدي ( 1997 )، أساليب حديثة في تعليم الرياضيات، القاهرة: مكتبة الأنجلو.
2- أبو زينه، فريد ( 1982 )، الرياضيات مناهجها وأصول تدريسها، عمان: دار الفرقان.
3- بدوي، رمضان (2003) ، تنمية المفاهيم والمهارات الرياضية، عمان: دار الفكر.
4- عقيلان، إبراهيم ( 2000 )، مناهج الرياضيات وأساليب تدريسها، عمان: دار المسيرة.
5- طرخان، محمد ( 2001 )، معجم لمصطلحات مختارة في التربية، عمان: معهد التربية – الأونروا.
6- قاطوني،عبد الله ( 1996 )، طبيعة الرياضيات 96/1 Math ، عمان: معهد التربية – الأونروا .
7- قاطوني،عبد الله ( 1991 )، أساليب تدريس الرياضيات 91/1 Math ، عمان: معهد التربية – الأونروا.

بارك الله فيكم